Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (x - \frac{π}{2})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \tan (y - \frac{π}{2})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (y - \frac{π}{2}) = x$ .

$\tan (y - \frac{π}{2}) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y - \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Этап 2.3

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ обратной к $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2})) = \arctan (\tan (x - \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arctan (x) + \frac{π}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan ((\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{π - π}{2})$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{0}{2})$

Этап 4.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + 0)$

Этап 4.3.4.2

Добавим $\arctan (x)$ и $0$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x))$

Этап 4.3.5

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ — обратная к $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$