Основы мат. анализа Примеры

$y = 10^{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 10^{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $10^{y} = x$ .

$10^{y} = x$

Этап 2.2

Возьмем логарифм по основанию $10$ обеих частей уравнения, чтобы избавиться от переменной в показателе степени.

$\log (10^{y}) = \log (x)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\log (10^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \log (10) = \log (x)$

Этап 2.3.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \log (x)$

Этап 2.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \log (x)$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \log (x)$ обратной к $f (x) = 10^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 10^{x}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = \log (10^{x})$

Этап 4.2.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \log (10)$

Этап 4.2.4

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \cdot 1$

Этап 4.2.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\log (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\log (x)) = 10^{\log (x)}$

Этап 4.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\log (x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \log (x)$ — обратная к $f (x) = 10^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \log (x)$