Основы мат. анализа Примеры

$y = - 2 x^{2} - 5 x - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 y^{2} - 5 y - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$ .

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = - 2$ , $b = - 5$ и $c = - 1 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (- 1 - x))}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.1.6

Вычтем $8$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Этап 2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.1.6

Вычтем $8$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Этап 2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем $8$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Этап 2.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ обратной к $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Этап 4.3

Найдем область определения $- \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{17 - 8 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$17 - 8 x \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $17$ из обеих частей неравенства.

$- 8 x \geq - 17$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $- 8 x \geq - 17$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 8 x \geq - 17$ на $- 8$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 17}{- 8}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{17}{8}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ , представляет область определения $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ — обратная к $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Этап 5