Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} y + 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} y + 1 = x$ .

$\frac{1}{2} y + 1 = x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} + 1 = x$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{2} = x - 1$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 1)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 1)$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 (x - 1)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $2 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 x - 2$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 x - 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 x - 2$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{1}{2} x + 1) - 2$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Этап 4.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 4.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 4.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Этап 4.2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 2 - 2$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 1) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 x - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 2) + 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 1$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (2 x - 2) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (2 x - 2) = x - 1 + 1$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (2 x - 2) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (2 x - 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 x - 2$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x - 2$