Основы мат. анализа Примеры

$[\begin{array}{c} 12 & 23 & - 6 \\ 11 & - 8 & 13 \\ 7 & 21 & 15 \end{array}]$

Этап 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Этап 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 13 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 8 \cdot 15 - 21 \cdot 13$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим $- 8$ на $15$ .

$a_{11} = - 120 - 21 \cdot 13$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $- 21$ на $13$ .

$a_{11} = - 120 - 273$

Этап 2.1.2.2.2

Вычтем $273$ из $- 120$ .

$a_{11} = - 393$

Этап 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & 13 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 11 \cdot 15 - 7 \cdot 13$

Этап 2.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Умножим $11$ на $15$ .

$a_{12} = 165 - 7 \cdot 13$

Этап 2.2.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $13$ .

$a_{12} = 165 - 91$

Этап 2.2.2.2.2

Вычтем $91$ из $165$ .

$a_{12} = 74$

Этап 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & - 8 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 11 \cdot 21 - 7 \cdot - 8$

Этап 2.3.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Умножим $11$ на $21$ .

$a_{13} = 231 - 7 \cdot - 8$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $- 8$ .

$a_{13} = 231 + 56$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $231$ и $56$ .

$a_{13} = 287$

Этап 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 23 \cdot 15 - 21 \cdot - 6$

Этап 2.4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим $23$ на $15$ .

$a_{21} = 345 - 21 \cdot - 6$

Этап 2.4.2.2.1.2

Умножим $- 21$ на $- 6$ .

$a_{21} = 345 + 126$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $345$ и $126$ .

$a_{21} = 471$

Этап 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Этап 2.5.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 12 \cdot 15 - 7 \cdot - 6$

Этап 2.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Умножим $12$ на $15$ .

$a_{22} = 180 - 7 \cdot - 6$

Этап 2.5.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $- 6$ .

$a_{22} = 180 + 42$

Этап 2.5.2.2.2

Добавим $180$ и $42$ .

$a_{22} = 222$

Этап 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Этап 2.6.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 12 \cdot 21 - 7 \cdot 23$

Этап 2.6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Умножим $12$ на $21$ .

$a_{23} = 252 - 7 \cdot 23$

Этап 2.6.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $23$ .

$a_{23} = 252 - 161$

Этап 2.6.2.2.2

Вычтем $161$ из $252$ .

$a_{23} = 91$

Этап 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ - 8 & 13 \end{array} |$

Этап 2.7.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 23 \cdot 13 - (- 8 \cdot - 6)$

Этап 2.7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Умножим $23$ на $13$ .

$a_{31} = 299 - (- 8 \cdot - 6)$

Этап 2.7.2.2.1.2

Умножим $- (- 8 \cdot - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.2.1

Умножим $- 8$ на $- 6$ .

$a_{31} = 299 - 1 \cdot 48$

Этап 2.7.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $48$ .

$a_{31} = 299 - 48$

Этап 2.7.2.2.2

Вычтем $48$ из $299$ .

$a_{31} = 251$

Этап 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 11 & 13 \end{array} |$

Этап 2.8.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 12 \cdot 13 - 11 \cdot - 6$

Этап 2.8.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Умножим $12$ на $13$ .

$a_{32} = 156 - 11 \cdot - 6$

Этап 2.8.2.2.1.2

Умножим $- 11$ на $- 6$ .

$a_{32} = 156 + 66$

Этап 2.8.2.2.2

Добавим $156$ и $66$ .

$a_{32} = 222$

Этап 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 11 & - 8 \end{array} |$

Этап 2.9.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 12 \cdot - 8 - 11 \cdot 23$

Этап 2.9.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.1

Умножим $12$ на $- 8$ .

$a_{33} = - 96 - 11 \cdot 23$

Этап 2.9.2.2.1.2

Умножим $- 11$ на $23$ .

$a_{33} = - 96 - 253$

Этап 2.9.2.2.2

Вычтем $253$ из $- 96$ .

$a_{33} = - 349$

Этап 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 393 & - 74 & 287 \\ - 471 & 222 & - 91 \\ 251 & - 222 & - 349 \end{array}]$