Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 13$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $3 x^{2} - 12 x + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 13$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{3}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 13 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 13 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 13 - \frac{144}{12}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $144$ на $12$ .

$e = 13 - 1 \cdot 12$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$e = 13 - 12$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $12$ из $13$ .

$e = 1$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x - 2)}^{2} + 1$ .

$3 {(x - 2)}^{2} + 1$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 3$

$h = 2$

$k = 1$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Этап 4