Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $2 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 2)$ .

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

Этап 1.2.2.5

Разложим $u^{2} - 14 u + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 14$ .

$- 12, - 2$

Этап 1.2.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

Этап 1.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.2.2.7

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.2.2.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

Этап 1.2.2.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Этап 1.2.2.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Этап 1.2.2.9

Разложим $- u + u^{2} - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 1.2.2.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5

Упростим ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $- 14$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

Этап 2.2.5.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 24$

Этап 2.2.5.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 24$

Этап 2.2.5.2.4

Добавим $0$ и $24$ .

$y = 24$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 24)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 24)$

Этап 4