Основы мат. анализа Примеры

$- 2 \cos (3 θ) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 θ) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 θ) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\cos (3 θ)$ на $1$ .

$\cos (3 θ) = \frac{1}{- 2}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (3 θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$3 θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 θ = \frac{2 π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 θ = \frac{2 π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$θ = \frac{2 π}{9}$

Этап 5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 6.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$3 θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 6.1.5

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$3 θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $3 θ = \frac{4 π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $3 θ = \frac{4 π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Этап 7

Найдем период $\cos (3 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 8

Период функции $\cos (3 θ)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$