Основы мат. анализа Примеры

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Умножим каждый член на множитель $1$ , чтобы привести все дроби к общему знаменателю. В этом случае общий знаменатель равен $2$ .

$\cos (3 x) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\cos (3 x) \cdot 2$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Упростим $\cos (3 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\cos (3 x) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Этап 7

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 9.1.5

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{11 π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{11 π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Умножим $\frac{11 π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Этап 10

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 11

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$