Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ не определено.

$x = 1$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

Этап 6.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 6.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

Этап 6.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 1}{1}$

Этап 6.1.2.2.4

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x - 1$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x - 1$

Этап 8