Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Этап 1

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

Этап 2

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $4$ , максимальное число положительных корней равно $4$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $(4 - 2)$ ).

Положительные корни: $4$ , $2$ , or $0$

Этап 3

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.5.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.7

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.8

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Этап 4.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Этап 4.10

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

Этап 4.11

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

Этап 5

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $0$ , максимальное число отрицательных корней равно $0$ (правило знаков Декарта).

Отрицательные корни: $0$

Этап 6

Возможное количество положительных корней равно $4$ , $2$ , or $0$ , а возможное количество отрицательных корней ― $0$ .

Положительные корни: $4$ , $2$ , or $0$

Отрицательные корни: $0$