Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3 n} = n$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 n}}^{2} = n^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 n}$ в виде ${(3 n)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = n^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 n)}^{1} = n^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 n = n^{2}$

Этап 3

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 n - n^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Пусть $u = n$ . Подставим $u$ вместо $n$ для всех.

$3 u - u^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $n$ .

$n (3 - n) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n = 0$

$3 - n = 0$

Этап 3.4

Приравняем $n$ к $0$ .

$n = 0$

Этап 3.5

Приравняем $3 - n$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 - n$ к $0$ .

$3 - n = 0$

Этап 3.5.2

Решим $3 - n = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- n = - 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- n = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- n = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- n}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{n}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$n = 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $n (3 - n) = 0$ верно.

$n = 0, 3$