Основы мат. анализа Примеры

$\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $4 θ$ .

$\sin (2 (2 θ)) \cos (2 θ)$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Этап 3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Этап 4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 1) \cos (2 θ)$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Этап 6

Умножим $\cos (θ)$ на $\cos^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $\cos^{2} (θ)$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Этап 6.2

Умножим $\cos^{2} (θ)$ на $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 \sin (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Этап 8

Умножим $2$ на $4$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Этап 9

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 10

Развернем $(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $8$ на $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.2

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Перенесем $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.2.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.1.5

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.1

Перенесем $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Этап 11.1.5.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Этап 11.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2$

Этап 11.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2$

Этап 11.1.6

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Этап 11.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Этап 11.2.1.2

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Этап 11.2.1.3

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $- 4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Этап 11.2.1.4

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.2.1.5

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.2.1.6

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.2.1.7

Вынесем множитель $4 \sin (θ) \cos (θ)$ из $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ))$

Этап 11.2.2

Перенесем $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 11.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 11.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 12

Переставляем члены.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 13

Применим формулу Пифагора.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 14

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Этап 14.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) + 1)$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Этап 15

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $\sin^{2} (θ)$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Этап 15.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Этап 15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Этап 15.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Этап 16

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $\cos (θ)$ на $\cos^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перенесем $\cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 17.1.2

Умножим $\cos^{2} (θ)$ на $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 17.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin^{3} (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 17.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 17.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$