Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 10}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 7 (x) - 10}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.1.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$\frac{3 x^{2} + (- 3 + 10) x - 10}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 10 x - 10}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} - 3 x) + 10 x - 10}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{(x + 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 1.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{(x + 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 1.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 1.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{(x + 2) (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2)}$

Этап 1.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)}$

Этап 1.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 1.4

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 1.5

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 2)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 10) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (3 x + 10) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.2.2

Разделим $(x - 1) (3 x + 10)$ на $1$ .

$(x - 1) (3 x + 10) = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7

Развернем $(x - 1) (3 x + 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x + 10) - 1 (3 x + 10) = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot 10 - 1 (3 x + 10) = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot 10 - 1 (3 x) - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x \cdot x + x \cdot 10 - 1 (3 x) - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 10 - 1 (3 x) - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 10 - 1 (3 x) - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.3

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$3 x^{2} + 10 \cdot x - 1 (3 x) - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 3 x - 1 \cdot 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.5

Умножим $- 1$ на $10$ .

$3 x^{2} + 10 x - 3 x - 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.2

Вычтем $3 x$ из $10 x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = \frac{A {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = (A) (x - 2) + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.4

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ и $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(B) {(x + 2)}^{2} (x - 2)$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.2.1

Умножим на $1$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + \frac{B (x + 2) (x - 2)}{1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.4.2.4

Разделим $B (x + 2) (x - 2)$ на $1$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B (x + 2) (x - 2) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + (B x + B \cdot 2) (x - 2) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.6

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + (B x + 2 \cdot B) (x - 2) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.7

Развернем $(B x + 2 B) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x (x - 2) + 2 B (x - 2) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + 2 B (x - 2) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + 2 B x + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.8

Объединим противоположные члены в $B x \cdot x + B x \cdot - 2 + 2 B x + 2 B \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.8.1

Изменим порядок множителей в членах $B x \cdot - 2$ и $2 B x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x \cdot x - 2 B x + 2 B x + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.8.2

Добавим $- 2 B x$ и $2 B x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x \cdot x + 0 + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.8.3

Добавим $B x \cdot x$ и $0$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x \cdot x + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.9.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.9.1.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B (x \cdot x) + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} + 2 B \cdot - 2 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.9.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.10

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.10.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.9.10.2

Разделим $(C) {(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + (C) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.9.11

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C ((x + 2) (x + 2))$

Этап 1.9.12

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Этап 1.9.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Этап 1.9.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.9.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.9.13.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.9.13.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Этап 1.9.13.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C (x^{2} + 4 x + 4)$

Этап 1.9.14

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C x^{2} + C (4 x) + C \cdot 4$

Этап 1.9.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C x^{2} + 4 C x + C \cdot 4$

Этап 1.9.15.2

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C x^{2} + 4 C x + 4 \cdot C$

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} - 4 B + C x^{2} + 4 C x + 4 C$

Этап 1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Перенесем $- 4 B$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x - 2 A + B x^{2} + C x^{2} + 4 C x - 4 B + 4 C$

Этап 1.10.2

Перенесем $- 2 A$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 4 C x - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 1.10.3

Перенесем $A x$ .

$3 x^{2} + 7 x - 10 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 4 C x - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = A + 4 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = B + C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

$3 = B + C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $3 = B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $B + C = 3$ .

$B + C = 3$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $3 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 10 = - 2 A - 4 B + 4 C$ на $3 - C$ .

$- 10 = - 2 A - 4 (3 - C) + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 A - 4 (3 - C) + 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 = - 2 A - 4 \cdot 3 - 4 (- C) + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- 10 = - 2 A - 12 - 4 (- C) + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 10 = - 2 A - 12 + 4 C + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 12 + 4 C + 4 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $4 C$ и $4 C$ .

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$B = 3 - C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.3

Изменим порядок $3$ и $- C$ .

$B = - C + 3$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$7 = A + 4 C$

Этап 3.4

Решим относительно $A$ в $7 = A + 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $A + 4 C = 7$ .

$A + 4 C = 7$

$B = - C + 3$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 C$ из обеих частей уравнения.

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $A$ на $7 - 4 C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 10 = - 2 A - 12 + 8 C$ на $7 - 4 C$ .

$- 10 = - 2 (7 - 4 C) - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- 2 (7 - 4 C) - 12 + 8 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 = - 2 \cdot 7 - 2 (- 4 C) - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.5.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $7$ .

$- 10 = - 14 - 2 (- 4 C) - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.5.2.1.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 10 = - 14 + 8 C - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = - 14 + 8 C - 12 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Вычтем $12$ из $- 14$ .

$- 10 = 8 C - 26 + 8 C$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.5.2.1.2.2

Добавим $8 C$ и $8 C$ .

$- 10 = 16 C - 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = 16 C - 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = 16 C - 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = 16 C - 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$- 10 = 16 C - 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6

Решим относительно $C$ в $- 10 = 16 C - 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $16 C - 26 = - 10$ .

$16 C - 26 = - 10$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $26$ к обеим частям уравнения.

$16 C = - 10 + 26$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.2.2

Добавим $- 10$ и $26$ .

$16 C = 16$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$16 C = 16$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.3

Разделим каждый член $16 C = 16$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим каждый член $16 C = 16$ на $16$ .

$\frac{16 C}{16} = \frac{16}{16}$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 C}{16} = \frac{16}{16}$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{16}{16}$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$C = \frac{16}{16}$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$C = \frac{16}{16}$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.3.1

Разделим $16$ на $16$ .

$C = 1$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$C = 1$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$C = 1$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

$C = 1$

$A = 7 - 4 C$

$B = - C + 3$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $C$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = 7 - 4 C$ на $1$ .

$A = 7 - 4 \cdot 1$

$C = 1$

$B = - C + 3$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $7 - 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$A = 7 - 4$

$C = 1$

$B = - C + 3$

Этап 3.7.2.1.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$A = 3$

$C = 1$

$B = - C + 3$

$A = 3$

$C = 1$

$B = - C + 3$

$A = 3$

$C = 1$

$B = - C + 3$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $C$ в $B = - C + 3$ на $1$ .

$B = - (1) + 3$

$A = 3$

$C = 1$

Этап 3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $- (1) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$B = - 1 + 3$

$A = 3$

$C = 1$

Этап 3.7.4.1.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$B = 2$

$A = 3$

$C = 1$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 1$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 1$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 1$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$B = 2, A = 3, C = 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}$