Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Этап 1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (2 x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (2 x + 1)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Этап 1.6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot 1$

Этап 1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x + 2 A + 2 B x + B$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $B$ .

$1 = A x + 2 A + 2 x B + B$

Этап 1.7.2

Перенесем $2 A$ .

$1 = A x + 2 x B + 2 A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + 2 B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = 2 A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = 2 A + B$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = - 2 B$

$1 = 2 A + B$

$A = - 2 B$

$1 = 2 A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 2 A + B$ на $- 2 B$ .

$1 = 2 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- 2 B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$1 = - 4 B + B$

$A = - 2 B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 4 B$ и $B$ .

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 B = 1$ .

$- 3 B = 1$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- 3 B = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- 3 B = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - 2 B$ на $- \frac{1}{3}$ .

$A = - 2 (- \frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$A = 2 (\frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{2}{3}, B = - \frac{1}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2}$