Основы мат. анализа Примеры

$\frac{8 x^{3} + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{3} + 13 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{3}$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $13 x$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + x \cdot 13}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (8 x^{2}) + x \cdot 13$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $x (8 x^{2} + 13)$ на $1$ .

$x (8 x^{2} + 13) = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (8 x^{2}) + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x \cdot x^{2} + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.3.2

Перенесем $13$ влево от $x$ .

$8 x \cdot x^{2} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{2 + 1} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $A x + B$ на $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ и $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Умножим на $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Этап 1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Этап 1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 2)}{1}$

Этап 1.7.2.2.4

Разделим $(C x + D) (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 2)$

Этап 1.7.3

Развернем $(C x + D) (x^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x (x^{2} + 2) + D (x^{2} + 2)$

Этап 1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D (x^{2} + 2)$

Этап 1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4.2

Перенесем $2$ влево от $C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 2$

Этап 1.7.4.3

Перенесем $2$ влево от $D$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + 2 D$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + B + 2 D$

Этап 1.8.2

Перенесем $2 C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + D x^{2} + 2 C x + B + 2 D$

Этап 1.8.3

Перенесем $A x$ .

$8 x^{3} + 13 x = C x^{3} + D x^{2} + A x + 2 C x + B + 2 D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$8 = C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$13 = A + 2 C$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + 2 D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 8$ .

$C = 8$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем уравнение в виде $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 8$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.2.2

Заменим все вхождения $C$ в $13 = A + 2 C$ на $8$ .

$13 = A + 2 (8)$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $D$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 16 = 13$ .

$A + 16 = 13$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$A = 13 - 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $16$ из $13$ .

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $D$ в $0 = B + 2 D$ на $0$ .

$0 = B + 2 (0)$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Этап 3.3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим $B + 2 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 = B + 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Этап 3.3.4.1.2

Добавим $B$ и $0$ .

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$B = 0 A = - 3 D = 0 C = 8$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$B = 0, A = - 3, D = 0, C = 8$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{- 3 x + 0}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x + 0}{x^{2} + 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $(- 3) \cdot x$ и $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{x^{2} + 2}$

Этап 5.2

Добавим $(8) \cdot x$ и $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x}{x^{2} + 2}$