Основы мат. анализа Примеры

$\frac{8 x + 4}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) + 4}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (1)}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (2 x + 1)}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 4}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{4 x - 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 4) (4 x - 1)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x + 4) (4 x - 1)}{(x + 4) (4 x - 1)} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (2 x + 1) (x + 4) (4 x - 1)}{(x + 4) (4 x - 1)} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (2 x + 1) (4 x - 1)}{4 x - 1} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (2 x + 1) (4 x - 1)}{4 x - 1} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $4 (2 x + 1)$ на $1$ .

$4 (2 x + 1) = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x) + 4 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + 4 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.8.2

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x + 4 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$8 x + 4 = \frac{A (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) (4 x - 1)$ на $1$ .

$8 x + 4 = (A) (4 x - 1) + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 4 = A (4 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x + 4 = 4 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.4

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$8 x + 4 = 4 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.5

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.6

Сократим общий множитель $4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.6.1

Сократим общий множитель.

$8 x + 4 = 4 A x - A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Этап 1.9.6.2

Разделим $(B) (x + 4)$ на $1$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + (B) (x + 4)$

Этап 1.9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 4 = 4 A x - A + B x + B \cdot 4$

Этап 1.9.8

Перенесем $4$ влево от $B$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + B x + 4 B$

Этап 1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Перенесем $A$ .

$8 x + 4 = 4 x A - A + B x + 4 B$

Этап 1.10.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$8 x + 4 = 4 x A - A + B x + 4 B$

Этап 1.10.3

Перенесем $- A$ .

$8 x + 4 = 4 x A + B x - A + 4 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$8 = 4 A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = - 1 A + 4 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$8 = 4 A + B$

$4 = - 1 A + 4 B$

$8 = 4 A + B$

$4 = - 1 A + 4 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $8 = 4 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A + B = 8$ .

$4 A + B = 8$

$4 = - 1 A + 4 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $4 A$ из обеих частей уравнения.

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 1 A + 4 B$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 1 A + 4 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $8 - 4 A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $4 = - 1 A + 4 B$ на $8 - 4 A$ .

$4 = - 1 A + 4 (8 - 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 1 A + 4 (8 - 4 A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$4 = - A + 4 (8 - 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = - A + 4 \cdot 8 + 4 (- 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$4 = - A + 32 + 4 (- 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.2.2.1.1.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$4 = - A + 32 - 16 A$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - A + 32 - 16 A$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $16 A$ из $- A$ .

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $4 = - 17 A + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 17 A + 32 = 4$ .

$- 17 A + 32 = 4$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$- 17 A = 4 - 32$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $32$ из $4$ .

$- 17 A = - 28$

$B = 8 - 4 A$

$- 17 A = - 28$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 17 A = - 28$ на $- 17$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 17 A = - 28$ на $- 17$ .

$\frac{- 17 A}{- 17} = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 17 A}{- 17} = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{28}{17}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = 8 - 4 A$ на $\frac{28}{17}$ .

$B = 8 - 4 (\frac{28}{17})$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $8 - 4 (\frac{28}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим $- 4 (\frac{28}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1.1

Объединим $- 4$ и $\frac{28}{17}$ .

$B = 8 + \frac{- 4 \cdot 28}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.1.1.2

Умножим $- 4$ на $28$ .

$B = 8 + \frac{- 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 + \frac{- 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = 8 - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.2

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{17}{17}$ .

$B = 8 \cdot \frac{17}{17} - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим $8$ и $\frac{17}{17}$ .

$B = \frac{8 \cdot 17}{17} - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{8 \cdot 17 - 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Умножим $8$ на $17$ .

$B = \frac{136 - 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.4.2.1.5.2

Вычтем $112$ из $136$ .

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{24}{17}, A = \frac{28}{17}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{4 x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{28}{17}}{x + 4} + \frac{\frac{24}{17}}{4 x - 1}$