Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x - 11}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(6 x - 11) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(6 x - 11) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $6 x - 11$ на $1$ .

$6 x - 11 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x - 11 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$6 x - 11 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$6 x - 11 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$6 x - 11 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x - 11 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x - 11 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Этап 1.5.2.2.4

Разделим $B (x - 1)$ на $1$ .

$6 x - 11 = A + B (x - 1)$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 11 = A + B x + B \cdot - 1$

Этап 1.5.4

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$6 x - 11 = A + B x - 1 \cdot B$

Этап 1.5.5

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$6 x - 11 = A + B x - B$

Этап 1.6

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$6 x - 11 = B x + A - B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 11 = A - 1 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = B$

$- 11 = A - 1 B$

$6 = B$

$- 11 = A - 1 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 6$ .

$B = 6$

$- 11 = A - 1 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 11 = A - 1 B$ на $6$ .

$- 11 = A - 1 \cdot 6$

$B = 6$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 11 = A - 6$

$B = 6$

$- 11 = A - 6$

$B = 6$

$- 11 = A - 6$

$B = 6$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $- 11 = A - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 6 = - 11$ .

$A - 6 = - 11$

$B = 6$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$A = - 11 + 6$

$B = 6$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 11$ и $6$ .

$A = - 5$

$B = 6$

$A = - 5$

$B = 6$

$A = - 5$

$B = 6$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$A = - 5 B = 6$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - 5, B = 6$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 5}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{6}{x - 1}$