Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 1}{(x - 5) (x - 3)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 5) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 5) (x - 3)}{(x - 5) (x - 3)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (x - 5) (x - 3)}{(x - 5) (x - 3)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.5.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x - 1 = \frac{A (x - 5) (x - 3)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 3)$ на $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$x - 1 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 1 = A x - 3 A + \frac{(B) (x - 5) (x - 3)}{x - 3}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x - 5)$ на $1$ .

$x - 1 = A x - 3 A + (B) (x - 5)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 = A x - 3 A + B x + B \cdot - 5$

Этап 1.6.6

Перенесем $- 5$ влево от $B$ .

$x - 1 = A x - 3 A + B x - 5 B$

Этап 1.7

Перенесем $- 3 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 3 A - 5 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = - 3 A - 5 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A - 5 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A - 5 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 1 = - 3 A - 5 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 A - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 A - 5 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 1 = - 3 A - 5 B$ на $1 - B$ .

$- 1 = - 3 (1 - B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 3 (1 - B) - 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = - 3 \cdot 1 - 3 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 = - 3 - 3 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 1 = - 3 + 3 B - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 + 3 B - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $5 B$ из $3 B$ .

$- 1 = - 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 1 = - 3 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 - 2 B = - 1$ .

$- 3 - 2 B = - 1$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 2 B = - 1 + 3$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$- 2 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 2 B = 2$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 2 B = 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 2 B = 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- 1$ .

$A = 1 - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 + 1$

$B = - 1$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = - 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{2}{x - 5} + \frac{- 1}{x - 3}$