Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 20 x + 8 y - 4 = 0$

Этап 1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 20 x + 8 y = 4$

Этап 2

Составим полный квадрат для $5 x^{2} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 5$

$b = 20$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 5}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 5}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (5)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 5}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{10}{5}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$d = \frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$d = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$e = 0 - \frac{400}{20}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $400$ на $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $20$ .

$e = 0 - 20$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $20$ из $0$ .

$e = - 20$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $5 {(x + 2)}^{2} - 20$ .

$5 {(x + 2)}^{2} - 20$

Этап 3

Подставим $5 {(x + 2)}^{2} - 20$ вместо $5 x^{2} + 20 x$ в уравнение $5 x^{2} - 4 y^{2} + 20 x + 8 y = 4$ .

$5 {(x + 2)}^{2} - 20 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Этап 4

Перенесем $- 20$ в правую часть уравнения, прибавив $20$ к обеим частям.

$5 {(x + 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 20$

Этап 5

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{- 4}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Этап 5.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 5.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Этап 6

Подставим $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ вместо $- 4 y^{2} + 8 y$ в уравнение $5 x^{2} - 4 y^{2} + 20 x + 8 y = 4$ .

$5 {(x + 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 20$

Этап 7

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$5 {(x + 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 20 - 4$

Этап 8

Упростим $4 + 20 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $4$ и $20$ .

$5 {(x + 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 24 - 4$

Этап 8.2

Вычтем $4$ из $24$ .

$5 {(x + 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 20$

Этап 9

Разделим каждый член на $20$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 {(x + 2)}^{2}}{20} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{5} = 1$