Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} + 4 y + x - 8 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 4$ и $c = x - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x - 8))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.5

Добавим $16$ и $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $8$ из $80$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x) + 8 (10)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7

Перепишем $8 (- x + 10)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.5

Добавим $16$ и $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $8$ из $80$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x) + 8 (10)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7

Перепишем $8 (- x + 10)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.4.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2 (- x + 10)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Этап 1.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2 (- x + 10)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Этап 1.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x - 8 \cdot - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 x + 64}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.5

Добавим $16$ и $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8 x + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 80}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $8$ из $80$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x) + 8 (10)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $8 (- x + 10)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (- x + 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 10))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 10)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 (- x + 10)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (\sqrt{2 (- x + 10)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Этап 1.5.5.4

Перепишем $- 1 (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})$ в виде $- (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})$ .

$y = \frac{- (2 + \sqrt{2 (- x + 10)})}{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{2 - \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$ на две дроби.

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $2$ на $2$ .

$y = - (1 + \frac{- \sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{2 + \sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$ на две дроби.

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

Этап 7

Разделим $2$ на $2$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - (1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2})$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (- x + 10)}}{2}$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

$y = - 1 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)})$

Этап 11

Избавимся от скобок.

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

$y = - 1 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (- x + 10)}$

Этап 12