Основы мат. анализа Примеры

${(3 x - 1)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(3 x - 1)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $3 x$ и $b$ $- 1$ в выражение.

$1 {(3 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 x)}^{5}$ на $1$ .

${(3 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.5

Умножим $243$ на $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.7

Возведем $3$ в степень $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.8

Умножим $81$ на $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.9

Найдем экспоненту.

$243 x^{5} + 405 x^{4} \cdot - 1 + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.10

Умножим $- 1$ на $405$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 10 (3^{3} x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.12

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 10 (27 x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.13

Умножим $27$ на $10$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.15

Умножим $270$ на $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (3^{2} x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (9 x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.18

Умножим $9$ на $10$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.19

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} \cdot - 1 + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.20

Умножим $- 1$ на $90$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.21

Упростим.

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 5 (3 x) {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.22

Умножим $3$ на $5$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x {(- 1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.23

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x \cdot 1 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.24

Умножим $15$ на $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.25

Умножим ${(3 x)}^{0}$ на $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + {(3 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.26

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + 3^{0} x^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.27

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + 1 x^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.28

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + x^{0} {(- 1)}^{5}$

Этап 4.29

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + 1 {(- 1)}^{5}$

Этап 4.30

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $1$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x + {(- 1)}^{5}$

Этап 4.31

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$243 x^{5} - 405 x^{4} + 270 x^{3} - 90 x^{2} + 15 x - 1$