Основы мат. анализа Примеры

${(3 x + y)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(3 x + y)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $3 x$ и $b$ $y$ в выражение.

$1 {(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 x)}^{4}$ на $1$ .

${(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{4} x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.5

Умножим $81$ на $1$ .

$81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $3 x$ .

$81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $27$ на $4$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.9

Упростим.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $3 x$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $9$ на $6$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.13

Упростим.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $3$ на $4$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.15

Умножим ${(3 x)}^{0}$ на $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $3 x$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 3^{0} x^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 x^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + x^{0} {(y)}^{4}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 {(y)}^{4}$

Этап 4.20

Умножим ${(y)}^{4}$ на $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$