Основы мат. анализа Примеры

${(x + 4 y)}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 4 y)}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $4 y$ в выражение.

$1 {(x)}^{3} {(4 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{3}$ на $1$ .

${(x)}^{3} {(4 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $4 y$ .

$x^{3} (4^{0} y^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{3} + 3 x^{2} (4 y) + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.11

Упростим.

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 x {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $4 y$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 x (4^{2} y^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 \cdot 4^{2} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.14

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 \cdot 16 x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $3$ на $16$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.16

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 1 {(4 y)}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(4 y)}^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + {(4 y)}^{3}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $4 y$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4^{3} y^{3}$

Этап 4.20

Возведем $4$ в степень $3$ .

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 64 y^{3}$