Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ к $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 221, \pm 13, \pm 17$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 221, \pm 13, \pm 17$

Этап 2.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 219 \cdot - 1 - 221$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 219 \cdot - 1 - 221$

Этап 2.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 - 219 \cdot - 1 - 221$

Этап 2.1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + 3 - 219 \cdot - 1 - 221$

Этап 2.1.3.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 - 219 \cdot - 1 - 221$

Этап 2.1.3.6

Умножим $- 219$ на $- 1$ .

$2 + 219 - 221$

Этап 2.1.3.7

Добавим $2$ и $219$ .

$221 - 221$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $221$ из $221$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221}{x + 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$219 x$

$221$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 221 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							-	$221 x$	-	$221$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 221 x - 221$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							+	$221 x$	+	$221$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$221$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$219 x$	-	$221$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$219 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$221 x$	-	$221$
							+	$221 x$	+	$221$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x - 221$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} + 3 x^{2} - 219 x - 221$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} + 2 x - 221) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 221 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} + 2 x - 221$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} + 2 x - 221$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x - 221 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} + 2 x - 221 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 221$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 221)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 221}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 221$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 221}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 221$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 884}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $4$ и $884$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{888}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $888$ в виде $2^{2} \cdot 222$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $888$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (222)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 222}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{222}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{222}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} + 2 x - 221) = 0$ верно.

$x = - 1, - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1, - 1 + \sqrt{222}, - 1 - \sqrt{222}$

Десятичная форма:

$x = - 1, 13.89966442 \dots, - 15.89966442 \dots$

Этап 4