Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{\sqrt{5 x - 3}} + \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 x - 3 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$5 x \geq 3$

Этап 2.2

Разделим каждый член $5 x \geq 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $5 x \geq 3$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{3}{5}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{3}{5}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{3}{5}$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt{5 x - 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{5 x - 3} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 3}$ в виде ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$5 x - 3 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 3$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2} - 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 6.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 6.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 6.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 6.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(\frac{3}{5}, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > \frac{3}{5}, x \neq 3}$

Этап 8