Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 8}{4 x^{2} - 5 x + 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 8}{4 x^{2} - 5 x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 1) - (4 x - 1) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{1}{4}, 1}$

Этап 4