Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$ к $0$ .

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 2.1.3

Разложим $2 x^{4} + 115 x - 52$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Этап 2.1.3.3

Подставим $- 4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Подставим $- 4$ в многочлен.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 2.1.3.3.2

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 2.1.3.3.3

Умножим $2$ на $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 2.1.3.3.4

Умножим $115$ на $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Этап 2.1.3.3.5

Вычтем $460$ из $512$ .

$52 - 52$

Этап 2.1.3.3.6

Вычтем $52$ из $52$ .

$0$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Этап 2.1.3.5

Разделим $2 x^{4} + 115 x - 52$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 8 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Этап 2.1.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Этап 2.1.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Этап 2.1.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x^{2} + 128 x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Этап 2.1.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Этап 2.1.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 13 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 13 x - 52$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Этап 2.1.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Этап 2.1.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Этап 2.1.3.6

Запишем $2 x^{4} + 115 x - 52$ в виде набора множителей.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 2.1.4.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 2.1.5

Вычтем $8 x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Разложим $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Этап 2.1.6.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.5

Умножим $- 13$ на $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.6

Вычтем $3.25$ из $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.7

Умножим $32$ на $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.8

Добавим $- 3$ и $16$ .

$13 - 13$

Этап 2.1.6.1.3.9

Вычтем $13$ из $13$ .

$0$

Этап 2.1.6.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Этап 2.1.6.1.5

Разделим $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Этап 2.1.6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Этап 2.1.6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 2.1.6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 2.1.6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 2.1.6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.1.6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Этап 2.1.6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 2.1.6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $26 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 2.1.6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 2.1.6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $26 x - 13$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Этап 2.1.6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Этап 2.1.6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 13$

Этап 2.1.6.1.6

Запишем $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ в виде набора множителей.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 6 x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 6 x + 13$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 4$ (кратно $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (кратно $1$ )

$x = 3 + 2 i$ (кратно $1$ )

$x = 3 - 2 i$ (кратно $1$ )

$x = - 4$ (кратно $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (кратно $1$ )

$x = 3 + 2 i$ (кратно $1$ )

$x = 3 - 2 i$ (кратно $1$ )

Этап 3