Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 8 x^{2} \leq - 15 x$

Этап 1

Добавим $15 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{3} - 8 x^{2} + 15 x \leq 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 8 x^{2} + 15 x = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 8 x^{2} + 15 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + 15 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 15 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ .

$x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 15 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 15$ .

$x (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 5) (x - 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 5, 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} - 8 {(- 2)}^{2} \leq - 15 \cdot - 2$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 40$ меньше правой части $30$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} - 8 {(2)}^{2} \leq - 15 \cdot 2$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 24$ больше правой части $- 30$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} \leq - 15 \cdot 4$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 64$ меньше правой части $- 60$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{3} - 8 {(8)}^{2} \leq - 15 \cdot 8$

Этап 10.4.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 120$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $3 \leq x \leq 5$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 0] \cup [3, 5]$

Этап 13