Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{3} > - 12 x^{2}$

Этап 1

Добавим $12 x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$4 x^{3} + 12 x^{2} > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3)$ .

$4 x^{2} (x + 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 6)}^{3} > - 12 {(- 6)}^{2}$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 864$ не больше правой части $- 432$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 2)}^{3} > - 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 32$ больше правой части $- 48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$4 {(2)}^{3} > - 12 {(2)}^{2}$

Этап 9.3.3

Левая часть $32$ больше правой части $- 48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 < x < 0$ или $x > 0$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 12