Основы мат. анализа Примеры

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Этап 1

Вычтем $\frac{36}{x + 5}$ из обеих частей неравенства.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Этап 2

Упростим $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $6 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x (x + 5) - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x (x + 5)$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 36$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ .

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.4

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Этап 2.3.5

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6$

Этап 2.3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 1, - 6, - 5$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 5 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 48$ меньше правой части $- 12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 5.5$ в исходном неравенстве.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 33$ не меньше правой части $- 72$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $7.2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Этап 11.4.3

Левая часть $24$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $- 5 < x < 1$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Этап 14