Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 x \geq 8$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 2 x = 8$

Этап 2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{2} + 2 (- 6) \geq 8$

Этап 9.1.3

Левая часть $24$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 2 (0) \geq 8$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} + 2 (4) \geq 8$

Этап 9.3.3

Левая часть $24$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 4$ или $x \geq 2$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 4] \cup [2, \infty)$

Этап 12