Основы мат. анализа Примеры

$(x - 4) (x - 5) (x - 7) \leq 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 5) (x - 7) \leq 0$ верно.

$x = 4, 5, 7$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 4$

$4 < x < 5$

$5 < x < 7$

$x > 7$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) - 4) ((0) - 5) ((0) - 7) \leq 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 140$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $4 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4.5$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $4.5$ в исходном неравенстве.

$((4.5) - 4) ((4.5) - 5) ((4.5) - 7) \leq 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $0.625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $5 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $5 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) - 4) ((6) - 5) ((6) - 7) \leq 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$((10) - 4) ((10) - 5) ((10) - 7) \leq 0$

Этап 7.4.3

Левая часть $90$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 4$ Истина

$4 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < 4$ Истина

$4 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 4$ или $5 \leq x \leq 7$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 4] \cup [5, 7]$

Этап 10