Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 3}{x + 3} < 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 3}{x + 3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{x - 3 - 2 x - 6}{x + 3} < 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 3 - 6}{x + 3} < 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$\frac{- x - 9}{x + 3} < 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{x + 3} < 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{x + 3} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{x + 3} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{x + 3} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 9}{x + 3} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 9$

$x = - 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - 9, - 3$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{x + 9}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 9}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$x > - 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 12) - 3}{(- 12) + 3} < 2$

Этап 10.1.3

Левая часть $1.\overline{6}$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 3}{(- 6) + 3} < 2$

Этап 10.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 3} < 2$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 9$ или $x > - 3$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 9) \cup (- 3, \infty)$

Этап 13