Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим ${(x - 2)}^{2} - 4$ вместо $x^{2} - 4 x$ в уравнение $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Этап 1.6

Подставим $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ вместо $- 4 y^{2} + 8 y$ в уравнение $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Этап 1.7

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Этап 1.8

Упростим $4 + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $4$ и $4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

Этап 1.8.2

Вычтем $4$ из $8$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $4$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, 1)$

Этап 5