Основы мат. анализа Примеры

$y = - \frac{3}{4} x + 5$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{3}{4} y + 5$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{4} y + 5 = x$ .

$- \frac{3}{4} y + 5 = x$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $y$ и $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} + 5 = x$

Этап 2.2.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$- \frac{3 y}{4} + 5 = x$

Этап 2.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 y}{4} = x - 5$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Упростим $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 y}{4}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $- \frac{4}{3} (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 5$

Этап 2.5.2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 5$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 5 (\frac{4}{3})$

Этап 2.5.2.1.3.2

Объединим $5$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{5 \cdot 4}{3}$

Этап 2.5.2.1.3.3

Умножим $5$ на $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{20}{3}$

Этап 2.5.2.1.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ обратной к $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = - \frac{4 (- \frac{3}{4} x + 5)}{3} + \frac{20}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3}{4} x + 5) + 20}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{x \cdot 3}{4} + 5) + 20}{3}$

Этап 4.2.4.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4} + 5) + 20}{3}$

Этап 4.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{4}$ в числитель.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 \frac{- 3 x}{4} - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.3.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.3.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 1 (- 3 x) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

Этап 4.2.4.5

Умножим $- 4$ на $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 20 + 20}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x - 20 + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Добавим $- 20$ и $20$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) + 5$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 x}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.2.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = 1 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.6.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

Этап 4.3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot 20 + 5$

Этап 4.3.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (5)) + 5$

Этап 4.3.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 5) + 5$

Этап 4.3.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 1 \cdot 5 + 5$

Этап 4.3.3.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 5 + 5$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ — обратная к $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$