Основы мат. анализа Примеры

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $3^{y} + 2 = x$ .

$3^{y} + 2 = x$

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3^{y} = x - 2$

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Развернем $\ln (3^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ обратной к $f (x) = 3^{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Объединим противоположные члены в $3^{x} + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Добавим $3^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ — обратная к $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$