Основы мат. анализа Примеры

$y = 2 x^{2} - 5$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} - 5$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} - 5 = x$ .

$2 y^{2} - 5 = x$

Этап 2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{2} = x + 5$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 y^{2} = x + 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = x + 5$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{2}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{x + 5}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} - 5$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 5, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (x + 5)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (x + 5) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 (x + 5) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $2 (x + 5) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $x + 5$ на $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x + 5 \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 5$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 5, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Этап 5