Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{2} - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 1 = x$ .

$y^{2} - 1 = x$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = x + 1$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

Этап 2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x + 1}$

Этап 2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Этап 2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ обратной к $f (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} - 1$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} - 1$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ — обратная к $f (x) = x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Этап 5