Основы мат. анализа Примеры

$y = \sqrt{x + 5}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{y + 5}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y + 5} = x$ .

$\sqrt{y + 5} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 5}$ в виде ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$y + 5 = x^{2}$

Этап 2.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 5$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ обратной к $f (x) = \sqrt{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{x + 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 5$

Этап 4.2.3

Перепишем ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ в виде $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5$

Этап 4.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

Этап 4.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Этап 4.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Этап 4.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = (x + 5) - 5$

Этап 4.2.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 5 - 5$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{(x^{2} - 5) + 5}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 4.3.4

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 5) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ — обратная к $f (x) = \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$