Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.7

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Этап 2.2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

Этап 2.2.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 3

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 3.2

Так как $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 4

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем $- f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ на $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Этап 4.1.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Этап 4.2

Так как $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 5

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 6

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 7

Поскольку данная функция не является четной, она не симметрична относительно оси Y.

Нет симметрии относительно оси y

Этап 8

Поскольку данная функция не является ни четной, ни нечетной, она не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.

Функция не симметрична

Этап 9