Основы мат. анализа Примеры

$\sec (θ) = - \frac{9}{4}$

Этап 1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sec (θ) = \frac{гипотенуза}{смежные}$

Этап 2

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак $\sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{81 - {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{81 - 1 \cdot 16}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

Противоположный $= - \sqrt{81 - 16}$

Этап 4.5

Вычтем $16$ из $81$ .

Противоположный $= - \sqrt{65}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{65}}{9}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- 4}{9}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{4}{9}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{65}}{- 4}$

Этап 7.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{65}}{4}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- 4}{- \sqrt{65}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (θ) = \frac{4}{\sqrt{65}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\cot (θ) = \frac{4}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{65}}^{2}$ в виде $65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{65}$ в виде $65^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{9}{- \sqrt{65}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{9}{\sqrt{65}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{9}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{9}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}})$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{9}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{65}}^{2}$ в виде $65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{65}$ в виде $65^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\cos (θ) = - \frac{4}{9}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{65}}{4}$

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

$\sec (θ) = - \frac{9}{4}$

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$