Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 2$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - 3 x^{2} + 6 x - 2$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 6$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot - 2}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, 0), (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 2$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cdot 0^{2} + 6 (0) - 2$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 2$

Этап 2.2.3

Упростим $- 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 6 (0) - 2$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 6 (0) - 2$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 2$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 2$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 2)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, 0), (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 2)$

Этап 4