Основы мат. анализа Примеры

$7 x^{4} - 6 x^{3} + 62 x^{2} - 54 x - 9$

Этап 1

Приравняем $7 x^{4} - 6 x^{3} + 62 x^{2} - 54 x - 9$ к $0$ .

$7 x^{4} - 6 x^{3} + 62 x^{2} - 54 x - 9 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 6 x^{3} - 54 x + 7 x^{4} + 62 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x^{3} - 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x^{3}$ .

$- 6 x \cdot x^{2} - 54 x + 7 x^{4} + 62 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 54 x$ .

$- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot 9 + 7 x^{4} + 62 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x (x^{2}) - 6 x (9)$ .

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 x^{4} + 62 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 {(x^{2})}^{2} + 62 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 u^{2} + 62 u - 9 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 9 = - 63$ , а сумма — $b = 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель $62$ из $62 u$ .

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 u^{2} + 62 (u) - 9 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Запишем $62$ как $- 1$ плюс $63$

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 u^{2} + (- 1 + 63) u - 9 = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 u^{2} - 1 u + 63 u - 9 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 6 x (x^{2} + 9) + 7 u^{2} - 1 u + 63 u - 9 = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 6 x (x^{2} + 9) + u (7 u - 1) + 9 (7 u - 1) = 0$

Этап 2.1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 u - 1$ .

$- 6 x (x^{2} + 9) + (7 u - 1) (u + 9) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 6 x (x^{2} + 9) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $- 6 x (x^{2} + 9) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $- 6 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 6 x) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(7 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 6 x) + (x^{2} + 9) (7 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (- 6 x) + (x^{2} + 9) (7 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 9) (- 6 x + 7 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 9) (- 6 u + 7 u^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 9) (7 u^{2} - 6 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 1 = - 7$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 u$ .

$(x^{2} + 9) (7 u^{2} - 6 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Запишем $- 6$ как $1$ плюс $- 7$

$(x^{2} + 9) (7 u^{2} + (1 - 7) u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 9) (7 u^{2} + 1 u - 7 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 9) (7 u^{2} + u - 7 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 9) ((7 u^{2} + u) - 7 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 9) (u (7 u + 1) - (7 u + 1)) = 0$

Этап 2.1.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 u + 1$ .

$(x^{2} + 9) ((7 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 9) ((7 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 9) (7 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$7 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.3.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.3.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.4

Приравняем $7 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $7 x + 1$ к $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $7 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 1$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{7}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 9) (7 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 3 i, - 3 i, - \frac{1}{7}, 1$

Этап 3