Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \cot (3 x - \frac{π}{2})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \cot (3 x - \frac{π}{2})$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \cot (3 x - \frac{π}{2})$ .

$3 x - \frac{π}{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 3

Приравняем аргумент $3 x - \frac{π}{2}$ функции котангенса к $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 4.1.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 4.1.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5

Основной период $y = \cot (3 x - \frac{π}{2})$ находится на промежутке $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ , где $\frac{π}{6}$ и $\frac{π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$

Этап 6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \cot (3 x - \frac{π}{2})$ находятся в точках $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ и в каждой точке $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

Этап 8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 9