Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 8}{x - 5} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 8$

$x = 5$

Этап 2.5

Объединим решения.

$x = - 8, 5$

Этап 2.6

Найдем область определения $\frac{x + 8}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 8}{x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 5 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 5$

$x > 5$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 10) + 8}{(- 10) - 5} > 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $0.1\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 5} > 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 1.6$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(8) + 8}{(8) - 5} > 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $5.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 8$ или $x > 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 8}{x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 5 = 0$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 8, x > 5}$

Этап 6