Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{27} = b^{- 3}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $b^{- 3} = \frac{1}{27}$ .

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$

Этап 2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}$

Этап 3

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1$

Этап 4

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$ .

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$

Этап 4.2

Умножим $b^{3}$ на $1$ .

$b^{3} = 1 \cdot 27$

Этап 4.3

Умножим $27$ на $1$ .

$b^{3} = 27$

Этап 4.4

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$b^{3} - 27 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$b^{3} - 3^{3} = 0$

Этап 4.5.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = b$ и $b = 3$ .

$(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Перенесем $3$ влево от $b$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0$

Этап 4.5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$b - 3 = 0$

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $b - 3$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $b - 3$ к $0$ .

$b - 3 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$b = 3$

Этап 4.8

Приравняем $b^{2} + 3 b + 9$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $b^{2} + 3 b + 9$ к $0$ .

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $b^{2} + 3 b + 9 = 0$ относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $b$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$ верно.

$b = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$