Основы мат. анализа Примеры

$S = π \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ .

$π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$

Этап 2

Разделим каждый член $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $π \sqrt{r^{2} + h^{2}} = S$ на $π$ .

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}{π} = \frac{S}{π}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{r^{2} + h^{2}} = \frac{S}{π}$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{r^{2} + h^{2}}}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ в виде ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(r^{2} + h^{2})}^{1} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$r^{2} + h^{2} = {(\frac{S}{π})}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило умножения к $\frac{S}{π}$ .

$r^{2} + h^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $h^{2}$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} = \frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{S^{2}}{π^{2}} - h^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\frac{S^{2}}{π^{2}}$ в виде ${(\frac{S}{π})}^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{{(\frac{S}{π})}^{2} - h^{2}}$

Этап 5.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{S}{π}$ и $b = h$ .

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + h) (\frac{S}{π} - h)}$

Этап 5.3.3

Чтобы записать $h$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{(\frac{S}{π} + \frac{h π}{π}) (\frac{S}{π} - h)}$

Этап 5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h)}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $- h$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} - h \cdot \frac{π}{π})}$

Этап 5.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Объединим $- h$ и $\frac{π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} (\frac{S}{π} + \frac{- h π}{π})}$

Этап 5.3.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \pm \sqrt{\frac{S + h π}{π} \cdot \frac{S - h π}{π}}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $\frac{S + h π}{π}$ на $\frac{S - h π}{π}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π π}}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π}}$

Этап 5.3.7.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1} π^{1}}}$

Этап 5.3.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{1 + 1}}}$

Этап 5.3.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\frac{(S + h π) (S - h π)}{π^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(S + h π) (S - h π)$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2}}}$

Этап 5.3.8.2

Вынесем полную степень $π^{2}$ из $π^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.3.8.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((S + h π) (S - h π))}{π^{2} \cdot 1}$ .

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{π})}^{2} ((S + h π) (S - h π))}$

Этап 5.3.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \pm \frac{1}{π} \sqrt{(S + h π) (S - h π)}$

Этап 5.3.10

Объединим $\frac{1}{π}$ и $\sqrt{(S + h π) (S - h π)}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$

$r = - \frac{\sqrt{(S + h π) (S - h π)}}{π}$