Основы мат. анализа Примеры

$30 = 15 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 43$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $15 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 43 = 30$ .

$15 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 43 = 30$

Этап 2

Перенесем все члены без $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $43$ из обеих частей уравнения.

$15 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 30 - 43$

Этап 2.2

Вычтем $43$ из $30$ .

$15 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 13$

Этап 3

Разделим каждый член $15 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 13$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $15 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 13$ на $15$ .

$\frac{15 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{15} = \frac{- 13}{15}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{15} = \frac{- 13}{15}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ на $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = \frac{- 13}{15}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = - \frac{13}{15}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$\frac{2 π}{365} t = \arccos (- \frac{13}{15})$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2 π}{365}$ и $t$ .

$\frac{2 π t}{365} = \arccos (- \frac{13}{15})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{13}{15})$ .

$\frac{2 π t}{365} = 2.61927783$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $365$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $\frac{365}{2 π} \cdot 2.61927783$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Объединим $\frac{365}{2 π}$ и $2.61927783$ .

$t = \frac{365 \cdot 2.61927783}{2 π}$

Этап 8.2.1.1.2

Умножим $365$ на $2.61927783$ .

$t = \frac{956.0364086}{2 π}$

Этап 8.2.1.2

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{956.0364086}{2 \cdot 3.14159265}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{956.0364086}{6.2831853}$

Этап 8.2.1.4

Разделим $956.0364086$ на $6.2831853$ .

$t = 152.1579202$

Этап 9

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{2 π t}{365} = 2 (3.14159265) - 2.61927783$

Этап 10

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель $365$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим $\frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.61927783)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{365}{2 π} (6.2831853 - 2.61927783)$

Этап 10.2.2.1.2

Вычтем $2.61927783$ из $6.2831853$ .

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 3.66390747$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $\frac{365}{2 π} \cdot 3.66390747$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.3.1

Объединим $\frac{365}{2 π}$ и $3.66390747$ .

$t = \frac{365 \cdot 3.66390747}{2 π}$

Этап 10.2.2.1.3.2

Умножим $365$ на $3.66390747$ .

$t = \frac{1337.32622851}{2 π}$

Этап 10.2.2.1.4

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{1337.32622851}{2 \cdot 3.14159265}$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{1337.32622851}{6.2831853}$

Этап 10.2.2.1.6

Разделим $1337.32622851$ на $6.2831853$ .

$t = 212.84207979$

Этап 11

Найдем период $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{365}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Этап 11.3

$\frac{2 π}{365}$ приблизительно равно $0.0172142$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Этап 11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Этап 11.5.2

Перепишем это выражение.

$365$

Этап 12

Период функции $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ равен $365$ . Поэтому значения повторяются через каждые $365$ рад. в обоих направлениях.

$t = 152.1579202 + 365 n, 212.84207979 + 365 n$ , для любого целого $n$