Основы мат. анализа Примеры

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Этап 2

Разделим каждый член $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ на $20$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $20$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Этап 5

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Этап 5.6.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Этап 5.6.3

Добавим $2 π$ и $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Этап 6

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 7.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 7.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 7.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Этап 7.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $2$ на $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Этап 9

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 9.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 9.2.3

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.4.3

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 9.2.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Этап 9.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Этап 9.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Этап 9.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Этап 9.2.6.3

Добавим $4 π$ и $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Этап 9.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Этап 9.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Этап 9.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Этап 9.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Этап 9.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $7 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Этап 9.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Этап 9.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Этап 9.4.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Этап 9.4.2.1.4

Умножим $2$ на $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Этап 10

Найдем период $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Этап 10.3

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{π}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4$

Этап 10.6

Умножим $2$ на $4$ .

$8$

Этап 11

Период функции $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ равен $8$ . Поэтому значения повторяются через каждые $8$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , для любого целого $n$